原文
第1节：零向量
1.零向量的概念
对于任意向量x，都有x+y=x，则x被称为零向量。例如，3D零向量为[0 0 0]。零向量非常特殊，因为它是唯一大小为零的向量，并且唯一一个没有方向的向量。
第2节：负向量
1.负向量的概念
对于向量x，如果x+(-x)=0，则-x就是负向量。
2.负向量的运算法则
将此法则应用到2D，3D，4D中，则
-[x y] = [-x -y]
-[x y z] = [-x -y -z]
-[w x y z] = [-w -x -y -z]
3.负向量的几何解释
向量为负表示将得到一个和原向量大小相等，方向相反的向量。
第3节：向量的模
1.向量的模的概念
所谓的向量的模就是指向量的大小或者说长度。
2.向量的模的运算法则
在线性代数中，向量的模通常用在向量两边各加两条竖线的方式表示，如||v||，表示向量v的模。向量的模的计算公式如下：
对于2D，3D向量的如下
第4节：标量与向量的运算
1.运算法则
虽然标量与向量不能相加减，但是可以相乘，至于标量与向量的除法可以看做乘以倒数。
对于2D，3D向量的如下
2.几何解释
向量乘以标量或者除以标量，相当于以因子k来缩放向量的长度。
第5节：标准化向量
1.标准化向量的概念
所谓的标准化向量就是单位向量，就是向量的长度为1的向量。有时候也称作为法线。
2.运算法则
对于任意非零向量v，都能计算出一个和v方向相同的单位向量n，这个过程被称作为向量的“标准化”，要标准化向量，将向量除以它的大小（模）即可。
第6节：向量的加法和减法
1.向量的加法和减法的前提
如果两个向量的维数相同，那么他们能够相加减，运算结果的向量的维数和原向量相同。
2.运算法则
向量的加法等于两个向量的分量相加，向量的减法相当于加上一个负向量。
3.几何解释
向量的加法和减法引导出了三角形法则，即将向量的首尾相连就会得到加法的结果，如下
第7节：距离公式
1.距离公式的推导
通过上面的三角形原则，我们可以发现，通过两个向量的加减可以得到第三个向量，我们将这个过程逆置，如果知道了两点的距离，如何求出其距离，我们可以利用向量的减法实现。
2.运算公式
在3D中，已知两点a，b，求两点之间的距离d？我们可以将a，b两点看做向量，然后b-a就是向量d，然后我们再计算向量d的模就是两点间的距离
求出向量d后，再求d的模就是两点的距离
第8节：向量的点乘
1.基本概念
标量可以和向量相乘，向量也可以和向量向量相乘，这就叫点乘，也叫做内积。标量与向量相乘不可以写点，向量与向量相乘必须要写点，向量的点乘优先级高于向量的加减法。注意：向量点乘后的结果是标量
2.运算法则
注意：向量点乘后的结果是标量，不再是向量。
应用到2D，3D中为
a·b = axbx?+?ayby
a·b = axbx?+?ayby+?azbz
3.几何解释
向量的点乘描述的是两个向量的相似程度，即两个向量之间的夹角的大小
向量的点乘的集合运算法如下，向量的点乘结果与cos函数有关，当两个向量垂直时，向量的点乘结果为0
第9节：向量的投影
1.基本概念
给定两个向量v和n，能将v分解成两个分量，一个是垂直于向量n，一个平行于向量n，平行于向量n的向量我们称为在向量n上的投影。
2.投影的求解
因为向量n平行于投影向量，所以可以求出向量n的单位向量再乘以投影的模，就可以得到投影向量，如下
我们接下来求投影的模即可，我们可以根据三角函数的余弦公式来求出投影的模
代入投影的模就可以求出投影向量
3.垂直向量的求解
根据三角形法则，可以轻易求出垂直的向量
第10节：向量的叉乘
1.基本概念
两个向量的叉乘得到是向量，且这个向量垂直于原来的两个向量。向量的叉乘只可以运用在3D向量中。
2.数学运算公式
3.几何运算公式
向量叉乘的结果向量的长度与两个向量的夹角有关，且成正弦函数关系，如果向量a和b是平行关系，则叉乘的结果为0，因为sin0为0
4.向量叉乘方向的判断
向量的叉乘是通过右手定则来判断结果向量的方向的。伸出右手，四指弯曲符合向量叉乘的顺序，那么大拇指就是叉乘后结果向量的方向。如下图axb，右手四指弯曲方向从a到b，大拇指方向向上就是叉乘结果向量的方向。
向量的加减法运算法则可以简单总结为平行四边形法则和三角形法则。
1、平行四边形法则：对于两个向量和，如果它们在同一个方向上，那么它们的和就是它们模长相加；如果它们在相反的方向上，那么它们的和就是它们模相减。
2、三角形法则：对于两个向量和，它们的和可以表示为两个向量的起点所构成的向量。
向量的加减法满足交换律和结合律，即和是等价的，和也是等价的，而且和也是等价的。向量的加减法不满足分配律，即和不一定等于和的和。
向量的加减法结果是有方向的，即如果和在同一个方向上，它们的和是两个模长相加；如果它们在相反的方向上，它们的和是两个模相减。向量的加减法结果可以表示为两个向量的起点所构成的向量，即。这个法则可以用于求解两个向量的和。
学习向量的加减法，可以遵循以下技巧：
1、理解向量概念：向量是有方向和大小的几何对象，可以用于描述物理量和几何量。掌握向量的定义和基本性质是学习向量加减法的基础。
2、掌握向量表示：向量的表示方法有两种，一种是代数形式，一种是几何形式。在代数形式中，向量用坐标系中的坐标表示，通过加减坐标可以实现向量的加减。在几何形式中，向量用有向线段表示，线段的长度和方向分别对应向量的模长和方向。
3、熟悉向量加减法法则：向量的加减法满足交换律和结合律，不满足分配律。掌握这些法则可以更好地进行向量加减法的计算。
4、掌握向量加减法运算律：向量加减法的运算律包括加法交换律、加法结合律、数乘结合律、加法与数乘的分配律等。掌握这些运算律可以推导出很多有用的结论，简化计算。
5、实践向量加减法：通过大量的练习和实践，熟练掌握向量的加减法，达到熟练应用的水平。可以做一些有针对性的练习题，例如利用向量加减法解决平面几何、力学、电学等方面的问题。
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本文概览：原文 第1节：零向量 1.零向量的概念 对于任意向量x，都有x+y=x，则x被称为零向量。例如，3D零向量为[0 0 0]。零向量非常特殊，因为它是唯一大小为零的向量，并且唯...